老KK言論集:如何才能變得更聰明?(12)研究方法

大多數人剛開始解過橋問題,很容易會墬入一個陷阱,就是將所有過橋的人都用1分鐘的人來接送。以最前面的例子來說,1分鐘的人送3分鐘的人過橋,然後回頭去接6分鐘的人,再回頭去接8分鐘的人,最後再回頭去接12分鐘的人,總共花費的時間是︰3+1+6+1+8+1+12=32分鐘。因為已經知道標準答案是29分鐘,就開始大惑不解了。首先想肯定的就是,這個問題是不是「吳宗憲」式的腦筋急轉彎?不要搞了半天,只是文字遊戲而已,而不是真正的智力測驗?答案當然是否定的。

答案如下︰1分鐘的人先送3分鐘的人過橋,然後回頭到起點。再來就是這個問題的盲點,1分鐘的人要待在起點,而讓8分鐘的人和12分鐘的人一起過橋。接下來就簡單了,由3分鐘的人將燈拿回起點。這下子起點只有三個人︰1分鐘的、3分鐘的和6分鐘的,你會解這三個人怎麼花最短的時間過橋吧?這三個人過橋的時間是︰3+1+6=10分鐘,再加上前面幾人的過橋時間︰3+1+12+3=19分鐘,19分鐘+10分鐘=29分鐘,Bingo﹗這就是答案了。但是這個問題的原委到底是為什麼呢?如果想培養研究精神,那麼這個問題還不能到此結束,必須解掉所有這類型的問題才能告一段落。

首先,你要了解所要解的問題是什麼,我們將前述的問題寫成通式︰有一條不短的獨木橋,一次只能過兩個人,在一個伸手不見五指的晚上,過橋一定要用燈照,這時有 n 位朋友一起到了橋旁,每個人的體能不一,過橋所要花的時間也不一樣,分別是︰a₁分鐘,a₂分鐘,…,a៷分鐘,其中後面的數字大於等於前面的數字,即當 i≦j 時,aᵢ≦aⱼ,其中 i 和 j 的範圍都是在 1 到 n 之間。但是只有一盞燈,兩個人過橋後,必須要有一人將燈提回對岸,直到所有的人都過橋為止,兩個人過橋的時間只算較大的時間,如何才能花最少的時間讓大家都過橋呢?

由於我們已經有了初步的解法,將這個初步的解法歸納一下,可以得到下面三點心得︰

  1. 要設法先將兩個花最多時間的人送到對岸,可以使原來的人數少兩人。以前面的例子來說,就是要將 1、3、6、8、12 分鐘變成 1、3、6 分鐘。以通式來說就是要將 a₁、a₂、…、a៷ 變成 a₁、a₂、…、a៷₋₂。
  2. 將兩個花最多時間的人送到對岸的方法是,兩個花最少時間的人先過橋,然後由 a₁ 將燈提回起點,這時再由兩個花最多時間的人 a៷ 及 a៷₋₁ 過橋,最後再由 a₂ 將燈提回起點,就完成了這個步驟。
  3. 由於 a₁、a₂、…、a៷₋₂ 仍然是過橋問題,可以反覆使用前面兩步的方法,起點的人數會越來越少。最後剩下兩個人時,一起過橋就可以得到最短的時間。

上述的觀念,是在做研究時時常使用的方法,就是將已經得到的結果歸納起來,然後分成幾點,每一點都是一個小問題,如果每一個小問題都能解掉,那麼原來的問題就解了。

我們先來看一下第 2 點,這種送兩個花最多時間的人到對岸的方法是不是正確的。在做研究的方法中,驗證所得的方法是否正確,最開始就是先舉幾個例子看看對不對。如果都正確,再用數學來證明。以我們的例子稍加擴充,可以得到另外一個例子︰1、3、6、8、12、18分鐘,這個例子若都由 1 分鐘的人來接送,則要花 3+1+6+1+8+1+12+1+18=51 分鐘。若用我們的方法來做,則先將兩個最費時的送到對岸,要花 3+1+18+3=25 分鐘,還在起點的人是 1、3、6、8 分鐘。送 6 分鐘和 8 分鐘的人過橋,所花的時間是3+1+8+3=15 分鐘,起點剩下兩人,是 1 分鐘和 3 分鐘,所以再 3 分鐘,所有的人都過橋了。總共花的時間是 25+15+3=43 分鐘,果真比 51 分鐘好。

通常研究做到此,內心會充滿喜悅,覺得自己的方法極可能是對的。為了讓後面的數學證明更順利,通常還會舉幾個例子,例如︰1、6、7、10 和 12 分鐘。這個例子若都由 1 分鐘的人來接送,則要花6+1+7+1+10+1+12=38 分鐘。若用我們的方法來做,則先將兩個最費時的送到對岸,要花 6+1+12+6=25 分鐘,還在起點的人是 1、6、7 分鐘。這三個人過橋所花的時間是 6+1+7=14 分鐘。總共花的時間是 25+14=39 分鐘,竟然比 38 分鐘多﹗這時候做研究的心情,會從雲端直墬谷底,表示前面的想法錯了。但是千萬別氣餒,失敗對做研究來說是家常便飯,否則做研究就不稀奇了。許多失敗後,獲得成功的喜悅,是筆墨難以形容的。大家應該都知道阿基米德(Archimedes,287~212B.C.)的一個故事,就是國王赫隆(Hieron)懷疑他的金冠是否是純金打造,要阿基米德幫他驗證,但是金冠不得受損。他苦思多日都無法解開,有一天他洗澡的時候終於解開了這個問題(應該是大腦自動思索的結果),於是從浴缸中跳出,在大街上邊跑邊聲嘶力竭的喊到︰「我發現了﹗我發現了﹗」當時他全身是一絲不掛的(成了裸奔的始祖)。可見多次失敗後,獲得成功時的喜悅程度。如果你不做研究,在你的人生中是感受不到這種喜悅的。

由上面的例子,可以知道都由 a₁ 來接送不見得不好,所以兩種方法各有千秋,那到底什麼時候要用什麼方法呢?必須做做分析。這時候要用到一些小小的數學技巧,讀者千萬別聽到數學就走開,大多數研究中所用到的數學技巧,只需要小學程度的數學就可以了,這個問題也是。首先看看我們的方法所用的時間,兩位費時最少的人過橋所花的時間是 a₂,加上 a₁ 將燈送回起點的時間,再加上 a៷( a៷ 和 a៷₋₁ 過橋所花的時間),再加上 a₂ 再將燈送回起點的時間,總共是

a₁+2a₂+a៷

此時起點就剩下 n-2 人。再來看看如果只由 a₁ 負責接送所有的人過橋的方式, a₁ 送 a៷ 和 a៷₋₁ 過橋所花的時間,再加上將燈送回起點的時間,總共是

a៷+a៷₋₁+2a₁

由這兩個式子略作比較,兩式都減去 a₁+a៷ 這個都要花的時間,第一式就剩下 2a₂,第二式就剩下 a៷₋₁+a₁,我們可以得知,當 2a₂≧a៷₋₁+a₁ 時,由 a₁ 負責接送所有的人,所花的時間會較小,否則的話,用我們前面所提的方法,由 a₁ 和 a₂ 接送所有的人過橋,所花的時間會較小。例如 1、3、6、8、12 分鐘這個例子中,a₁=1,a₂=3,a៷₋₁=8,2‧a₂=2‧3=6,而a៷₋₁+a₁=8+1=9,所以要由 1 分鐘的人和 3 分鐘的人來接送。讀者可以自行試試 1、6、7、10、12 分鐘的例子,根據上式,會得到都由 1 分鐘的人負責接送會比較好。

由上面的分析,可以知道什麼時候用什麼方法會有較好的結果。最後還有一個問題,就是還有沒有其他的接送法會得到更好的結果?這在做研究中就是所謂的正確性分析。正確性分析通常都要用到數學推理,若要將這個問題的正確性分析完完整整地寫下來,怕讀者會嫌枯燥,我僅將推理時所要考慮的因素寫下來︰

  1. 任何專人負責接送的情形,不可能比 a₁ 負責接送來得好。
  2. 任何兩人負責接送的情形,不可能比 a₁ 和 a₂ 負責接送來得好。
  3. 任何三人以上(含)負責接送的情形,也不可能比 a₁和 a₂ 負責接送來得好。

經過以上的程序,這個問題的分析才算是告一個段落。但是研究的世界是海闊天空的,有時間或有興趣的讀者,可以針對這個問題再衍生出許許多多的問題。

我們將上面所講做研究的方法略作整理如後︰

  1. 首先要了解問題。
  2. 然後觀察一些簡單的例子。
  3. 如何解這些簡單的例子。
  4. 將所想出的方法推廣到通式。
  5. 分析方法的正確性。

一般來說,許多人解問題都只做到第3步,較少做第4步和第5步,這也是做研究中比較難的部分,是我們常聽說的創新能力。創新能力大家應該都有,只是我們從小時候的教育都沒有強調這種能力,結果一代比一代弱化。以致於連一般的老師都沒有這種能力,遑論所教導的學生。只有某些進入研究所的學生,才有可能遇到強調做研究的老師,而有幸能漸漸激發出創新的潛力。由於創新的能力幾乎退化掉了,剛開始接觸研究,常會感到寸步難行,挫折感很重。但是不要氣餒,要越挫越勇,持之以恆多做訓練,做研究就會融入你的生活之中,你的思維也會漸漸慎密起來。下面我們舉一些例子來說明做研究對人生有何影響。

下接:如何才能變得更聰明?(13)不同的人生

老KK言論集系列文獲原作王有禮教授同意轉載自
http://ylwang.cs.ntust.edu.tw/MyHomePage/index.aspx

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